백준 1153 - 네 개의 소수

1153번: 네 개의 소수 (acmicpc.net)

1153번: 네 개의 소수

 

오늘 포스팅 해볼 문제는 백준 1153번 네 개의 소수 문제이다.

이 문제는 단순히 소수를 찾고 for문을 네 번 돌리면 된다고 생각할 수 있지만, 엄청난 시간 복잡도로 인해 문제 해결이 불가능해질 수 있는 문제이다. 이 문제를 보면서 얼마전에 풀어보았던 골드바흐의 추측 문제가 떠올랐다.

 

백준 9020 - 골드바흐의 추측

9020번: 골드바흐의 추측 (acmicpc.net)

9020번: 골드바흐의 추측

 

이 문제와 연계해서 문제를 살펴보면 조금 더 효율적인 풀이를 생각해 낼 수 있다.

 

문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다

 

예제 입력 1 복사

3
8
10
16

예제 출력 1 복사

3 5
5 5
5 11

 

먼저 위 문제를 살펴보자. 골드바흐의 추측 알고리즘 그 자체를 가르쳐주는 문제인데, 골드바흐의 추측이란 모든 짝수는 두 개의 소수로 이루어질 수 있다는 것이다.

 

그렇다면 이 문제는 어떻게 해결할 수 있을까?

 

1. 에라토스테네스의 체를 사용하여 소수를 거른다.

2. 두 개의 수를 투포인터처럼 사용하며, 소수가 둘 다 맞다면 배열에 담아서 출력한다.

3. 아니라면 하나의 수는 1씩 감소, 다른 하나의 수는 1씩 증가시키면서 수를 찾아간다.

import sys
input = sys.stdin.readline
import math

def isPrime(num):
    if num == 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

arr = []
n = int(input())
for i in range(n):
    num = int(input())
    one = num // 2
    two = num // 2
    while one > 0:
        if isPrime(one) and isPrime(two):
            arr.append(f"{one} {two}")
            break
        else:
            one -= 1
            two += 1
            
for result in arr:
    print(result)

 

이렇게 해결을 할 수 있다.

 

그렇다면 우리가 오늘 풀어볼 네 개의 소수 문제를 다시 살펴보자.

 

문제

임의의 자연수가 주어지면, 이를 네 개의 소수의 합으로 분해하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들어 38 = 5 + 7 + 13 + 13이 된다.

입력

첫째 줄에 자연수 N(1 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 네 개의 소수를 빈 칸을 사이에 두고 순서대로 출력한다. 불가능한 경우는 -1을 출력한다.

예제 입력 1 복사

38

예제 출력 1 복사

5 7 13 13

 

 

이번에는 자연수를 네 개의 소수의 합으로 분해시키면 된다. 모든 자연수로 확장 되다 보니 처음에 드는 생각은 경우의 수가 너무 많지 않을까? 하는 점이다. 하지만, 잘 생각해보면 경우의 수가 단 두 개밖에 없다.

 

4와 5에서만 주목하면 된다. 결국 4가 되면 2 2로 5가 되면 2 3으로 구분되어지며, 그 위부터는 4와 5를 기점으로 확장시켜나가는 셈이다. 또한, 8 아래의 수에서는 4개의 소수로 나타낼 수가 없다. 

 

그렇다면 이제 문제를 해결해보자.

 

1. 에라토스테네스의 체를 이용하여 소수를 거른다.

2. 골드바흐의 추측 알고리즘을 사용해서 둘 다 소수라면 return, 아니라면 -1로 return 한다.

3. 짝수 일 때 n-4를, 홀수 일 때 n-5를 시켜주고 출력 포맷을 잡아준다.

 

import sys
import math
input = sys.stdin.readline


def isPrime(num):
    if num == 1:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def goldbach(num):
    for i in range(2, num):
        if isPrime(i) and isPrime(num - i):
            return (i, num - i)
    return (-1, -1)

n = int(input())
if n < 8:
    print(-1)
else:
    if n % 2 == 0:
        p1, p2 = goldbach(n - 4)
        print(f"2 2 {p1} {p2}")
    else:
        p1, p2 = goldbach(n - 5)
        print(f"2 3 {p1} {p2}")

 

아무 숫자나 출력하면 되기 때문에, 조금 단순하게 문제를 해결하기 위해서 출력 형식을 아예 2 2와 2 3으로 고정시켜주었다.

 

9020번과 1153번에서 해결방식이 조금 다를 수 있는데, 9020번 문제의 경우 출력하는 소수간의 간격이 가장 작은 수를 출력해야하기에 투포인터를 사용했고, 1153번의 경우 단순히 소수쌍만을 찾아내면 되기 때문에 for문 안에서 i, num-i로 소수쌍만을 출력하도록 알고리즘을 구성했다.

 

두 문제를 연계해서 보면서 골드바흐의 추측 알고리즘에 대해 조금 더 완벽히 이해하면 좋겠다.